Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+4．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=x+1垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在區(qū)間[1，3]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得f（x）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-2ax，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′（1）=3-2a=-1，由此能求出a=2．
（2）有已知得：a＞

x3+4

x2

=x+

4

x2

，設(shè)g（x）=x+

4

x2

，（1≤x≤3），g′（x）=1-

8

x3

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-ax²+4，
∴f′（x）=3x²-2ax，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=x+1垂直，
∴f′（1）=3-2a=-1，
解得a=2．
（2）由已知得：a＞

x3+4

x2

=x+

4

x2

，
設(shè)g（x）=x+

4

x2

，（1≤x≤3），
g′（x）=1-

8

x3

，
∵1≤x≤3，
∴x∈[1，2）時(shí)，g′（x）＜0，
x∈（2，3]時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）_min=g（2）=3，
∴a＞3．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力，分類討論等綜合解題能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．