Question

11．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足$f（{x+2}）=\frac{1}{2}f（x）$，當(dāng)x∈[0，2）時，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-2{x^2}，0≤x＜1}\\{-{2^{1-|{\frac{3}{2}-x}|}}，1≤x＜2}\end{array}}\right.$．函數(shù)g（x）=lnx-m．若任意的x₁∈[-4，-2），均存在${x_2}∈[{{e^{-1}}，{e^2}}]$使得不等式f（x₁）-g（x₂）≥0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [10，+∞）
• B． [7，+∞）
• C． [-3，+∞）
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 求出f（x）_min=-8，g（x）_min=-1-m，根據(jù)任意的x₁∈[-4，-2），均存在${x_2}∈[{{e^{-1}}，{e^2}}]$使得不等式f（x₁）-g（x₂）≥0恒成立，得出f（x）_min≥g（x）_min，即可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意，f（x+4）=$\frac{1}{2}$f（x+2）=$\frac{1}{4}$f（x），
設(shè)x∈[-4，-2），則x+4∈[0，2），∴f（x）=4f（x+4）=$\left\{\begin{array}{l}{2-8{（x+4）}^{2}，-4≤x＜-3}\\{-{2}^{3-|-x-\frac{5}{2}|}，-3≤x＜-2}\end{array}\right.$．
-4≤x＜-3時，f（x）∈（-6，2]；-3≤x＜-2時，f（x）∈[-8，-4$\sqrt{2}$]
∴f（x）_min=-8，
∵g（x）=lnx-m，${x_2}∈[{{e^{-1}}，{e^2}}]$，
∴g（x）_min=-1-m，
∵任意的x₁∈[-4，-2），均存在${x_2}∈[{{e^{-1}}，{e^2}}]$使得不等式f（x₁）-g（x₂）≥0恒成立，
∴f（x）_min≥g（x）_min，
∴-8≥-1-m，
∴m≥7．
故選：B．

點評 本題考查恒成立問題，考查函數(shù)的最值，正確轉(zhuǎn)化為f（x）_min≥g（x）_min是關(guān)鍵．