Question

19．已知由實(shí)數(shù)組成的等比數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n，且滿足8a₄=a₇，S₇=254．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)n∈N^*，b_n=$\frac{2n+1}{（log{{\;}_{2}a}_{n}）^{2}•（log{{\;}_{2}a}_{n+1}）^{2}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由8a₄=a₇，可得8=$\frac{{a}_{7}}{{a}_{4}}$=q³，解得q．由S₇=254，$\frac{{a}_{1}（{2}^{7}-1）}{2-1}$=254，解得a₁．
（2）b_n=$\frac{2n+1}{（log{{\;}_{2}a}_{n}）^{2}•（log{{\;}_{2}a}_{n+1}）^{2}}$=$\frac{2n+1}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由8a₄=a₇，可得8=$\frac{{a}_{7}}{{a}_{4}}$=q³，解得q=2．
∵S₇=254，∴$\frac{{a}_{1}（{2}^{7}-1）}{2-1}$=254，解得a₁=2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=$\frac{2n+1}{（log{{\;}_{2}a}_{n}）^{2}•（log{{\;}_{2}a}_{n+1}）^{2}}$=$\frac{2n+1}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，
∴T_n=$（1-\frac{1}{{2}^{2}}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{3}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$=1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法、對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．