Question

11．已知焦點在y軸上的雙曲線C的中心是原點O，離心率等于$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，以雙曲線C的一個焦點為圓心，2為半徑的圓與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$
• C． ${y^2}-\frac{x^2}{4}=1$
• D． $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{4}=1$

Answer 1

分析 設雙曲線的焦點為（0，c），漸近線方程為ax-by=0，由直線和圓相切的條件，求得b=2，再求a，即可得到雙曲線C的方程．

解答 解：設雙曲線的焦點為（0，c），漸近線方程為ax-by=0，
由于圓與雙曲線的漸近線相切，
則$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=2，
化簡得，b=2，
因為$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，即：$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{4}$，所以a=2，
所以雙曲線的方程為：$\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{4}=1$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的性質，考查直線和圓相切的條件，考查運算能力，屬于中檔題．