Question

已知函數(shù)g（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y都有g(shù)（x+y）-g（y）=x（x+2y+1）成立，且g（1）=0，設(shè)f（x）=

g(x)-3x+3

x

．
（1）求g（0）的值；
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）對(duì)抽象函數(shù)滿足的函數(shù)值關(guān)系的理解和把握是解決該問(wèn)題的關(guān)鍵，對(duì)自變量適當(dāng)?shù)馁x值可以解決該問(wèn)題，結(jié)合已知條件可以賦x=-1，y=1求出f（0）；
（2）在（1）基礎(chǔ)上賦值y=0可以實(shí)現(xiàn)求解f（x）的解析式的問(wèn)題；

解答： 解：（1）∵g（x+y）-g（y）=x（x+2y+1），g（1）=0，
令x=1，y=0，得g（1）-g（0）=1×（1+0+1）=2，
故g（0）=-2，
（2）令y=0，則g（x）-g（0）=x（x+1），
∴g（x）=x²+x-2，
∴f（x）=

g(x)-3x+3

x

=

x2+x-2-3x+3

x

=x+

1

x

-2，

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的問(wèn)題，采用賦值法是解決這類問(wèn)題的常用方法，屬于中檔題．