Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，點M在AB上，且AM=，點P在平面ABCD上，且動點P到直線A₁D₁的距離的平方與P到點M的距離的平方差為1，在平面直角坐標系xoy中，動點P的軌跡方程是    ．

Answer 1

【答案】分析：以AB，AD，AA₁ 為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標系，設P（x，y，0），由題意可得 M（，0，0），由題意可得
（y²+1）-[]=1，化簡可得結果．
解答：解：作PN⊥AD，則PN⊥面A₁D₁DA，作 NH⊥A₁D₁ ，N，H為垂足則由三垂線定理可得 PH⊥A₁D₁．
以AB，AD，AA₁ 為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標系，設P（x，y，0），由題意可得 M（，0，0）．
再由PN²+NH²=PH²，PH²-PM²=1，可得 PN²+NH²-PM²=1，
即 x² +1-[]=1，化簡可得y²=x-，
故答案為y²=x-．
點評：本題考查點軌跡方程的求法，得到 x²+1-[]=1，是解題的關鍵，屬于中檔題．