Question

已知橢圓C₁：

x2

a

+

y2

9

=1與拋物線C₂：y=x²-b
（1）若拋物線C₂經過橢圓C₁的焦點，且兩曲線恰有三個不同的交點，求橢圓C₁與拋物線C₂的方程；
（2）當實數(shù)a，b滿足什么關系式，橢圓C₁與拋物線C₂有四個不同的交點？并證明這四個交點共圓．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據(jù)題意得出焦點為：F₁（-

a-9

，0），F(xiàn)₂（

a-9

，0），（0，-3）在拋物線上，可代入求解即可．
（2）得出橢圓C₁與拋物線C₂有四個不同的交點，

-b＜-3 ( a) 2-b＞0

即a＞b＞3，利用圓內接四邊形的性質證明即可．

解答： 解：（1）拋物線C₂：y=x²-b，橢圓C₁：

x2

a

+

y2

9

=1，
∵拋物線C₂經過橢圓C₁的焦點，且兩曲線恰有三個不同的交點，
∴可判斷：焦點為：F₁（-

a-9

，0），F(xiàn)₂（

a-9

，0），（0，-3）在拋物線上，
∴-3=0-b，
即b=3，
（

a-9

）²-3=0，a=12，
∴橢圓C₁

x2

12

+

y2

9

=1，拋物線C₂的方程為：y=x²-3，
（2）∵橢圓C₁與拋物線C₂有四個不同的交點，
∴

-b＜-3 ( a) 2-b＞0

即a＞b＞3，
當a＞b＞3時，橢圓C₁與拋物線C₂有四個不同的交點，

根據(jù)對稱性可知，四邊形ABDC為等腰梯形，
AB∥CD，
∴∠A+∠C=180°，
∠A=∠B，∠C=∠D，
∴∠A+∠D=180°，
對角互補
∴四邊形ABDC為圓內接四邊形，
∴A，B，C，D四點共圓．

點評：本題綜合考查了直線與圓錐曲線的位置關系，方程的求解與運用，屬于綜合題，難度較大．