Question

已知函數(shù)f（x）過定點(diǎn)（1，1），且對任意實(shí)數(shù)x₁，x₂∈R都有f（x₁+x₂）=1+f（x₁）+f（x₂）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{f（

1

2n

）+1}（n∈N^*）為等比數(shù)列；
（Ⅱ）若記數(shù)列{

1

f(n)

）（n∈N^*）為{b_n}，其前n項(xiàng)和為T_n．若不等式T_2n-T_n＞

6

35

log₂（x+1）（n≥2，n∈N^*）恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,等比關(guān)系的確定

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式

分析：（Ⅰ）令x₁=x₂=

1

2n

．根據(jù)f（x₁+x₂）=1+f（x₁）+f（x₂）．得到f（

1

2n

）+1=

1

2

[f（

1

2n-1

）+1]，求出f（

1

2

）+1=1，問題得以證明，
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得f（n）=2n-1，再利用放縮法，求得T_2n-T_n＞

n

4n-1

＞

2

7

，n≥2，n∈N^*，再由題意log₂（x+1）＜

5

3

，解得x的即可

解答： 解：（Ⅰ）令x₁=x₂=

1

2n

．
則f（

1

2n

+

1

2n

）=f（

1

2n-1

）=1+f（

1

2n

）+f（

1

2n

）=1+2f（

1

2n

），
∴f（

1

2n-1

）+1=2[f（

1

2n

）+1]，
∴f（

1

2n

）+1=

1

2

[f（

1

2n-1

）+1]，
令x₁=x₂=

1

2

，
則f（1）=1+2f（

1

2

）．
∵函數(shù)f（x）過定點(diǎn)（1，1），
∴f（1）=1，
∴f（

1

2

）=0，
∴f（

1

2

）+1=1，
∴數(shù)列{f（

1

2n

）+1}（n∈N^*）是以1為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（

1

2n

）+1=(

1

2

)n-1，
即f（

1

2n

）=(

1

2

)n-1-1，
令x=

1

2n

，
∴f（x）=2x-1，
∴f（n）=2n-1，
∴b_n=

1

f(n)

=

1

2n-1

，
∴T_n=1+

1

3

+

1

5

+…+

1

2n-1

，T_2n=1+

1

3

+

1

5

+…+

1

2n-1

+

1

2n+1

+

1

2n+3

+…+

1

4n-1

，
∴T_2n-T_n=

1

2n+1

+

1

2n+3

+…+

1

4n-1

＞

1

4n-1

+

1

4n-1

+…+

1

4n-1

=

n

4n-1

＞

2

7

，
∵不等式T_2n-T_n＞

6

35

log₂（x+1）（n≥2，n∈N^*）恒成立
∴

2

7

＞

6

35

log₂（x+1）恒成立，
即log₂（x+1）＜

5

3

=log₂

25

9

，
∴0＜x+1＜

25

9

，
解得-1＜x＜

16

9

故實(shí)數(shù)x的取值范圍為（-1，

16

9

）

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系，以及等比數(shù)列的定義通項(xiàng)問題，以及利用放縮法證明不等式恒成立的問題，考查了學(xué)生的對知識的運(yùn)用能力，計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力，本題綜合性強(qiáng)，屬于難題