Question

已知點(diǎn)A（4，m）在拋物線y²=2px（p＞0）上，它到拋物線焦點(diǎn)F的距離為5，
（Ⅰ）求拋物線方程和m的值；
（Ⅱ）若m＞0，直線L過點(diǎn)A作與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線L方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）運(yùn)用拋物線的定義，解得p，再由拋物線方程，求得m；
（Ⅱ）過點(diǎn)（4，4）且與拋物線y²=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)只能是：i）過點(diǎn)（4，4）且與拋物線y²=4x相切，此時(shí)設(shè)直線方程為：y=k（x-4）+4，運(yùn)用直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，即可求得k，ii）過點(diǎn)（4，4）且平行于對稱軸，即可得到所求直線方程．

解答： 解：（Ⅰ）點(diǎn)A（4，m）在拋物線y²=2px（p＞0）上，
則有m²=8p，
由于A到拋物線焦點(diǎn)F的距離為5，則由拋物線定義，可得，
4+

p

2

=5，解得，p=2，
則m²=16，解得，m=±4；
（Ⅱ）由m＞0，則拋物線方程為y²=4x，
點(diǎn)A（4，4）在拋物線y²=4x上，
∴過點(diǎn)（4，4）且與拋物線y²=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)只能是：
i）過點(diǎn)（4，4）且與拋物線y²=4x相切，
此時(shí)設(shè)直線方程為：y=k（x-4）+4，
代入拋物線，得：[k（x-4）+4]²=4x，
整理，得：k²x²+（8k-8k²-4）x+16k²-32k+16=0，
∵方程只有一個(gè)根，∴x₁=x₂=4，
∴

8k2-8k+4

k2

=8，解得k=，
∴直線方程為：y=

1

2

x+2，即x-2y+4=0．
ii）過點(diǎn)（4，4）且平行于對稱軸．
此時(shí)直線方程為y=4．
綜上所述，滿足條件的直線方程為：x-2y+4=0或y=4．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的方程和定義、性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．