Question

正項等比數列{a_n}中，a₁=2，且a₂，a₁+a₂，a₃成等差數列．
（Ⅰ） 求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 設bn=(1-

2

an

)2+a(1+

1

an

)（n∈N^*），若a∈[0，2]，求數列{b_n}的最小項．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的函數特性,等差數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ） 通過a₂，S₂，a₃成等差，求出q．推出通項公式即可．
（Ⅱ）方法一：通過

1

2n

=t∈{

1

2

，

1

4

，

1

8

，…，

1

2n

，…}，利用二次函數的對稱軸，討論a的值，通過函數的單調性求出函數的最值，得到數列的最小項．
方法二：通過b_n+1-b_n比較大小，判斷函數的單調性，討論a的值，通過函數的單調性求出函數的最值，得到數列的最小項．

解答： 解：（Ⅰ） 由a₂，S₂，a₃成等差，有2S₂=a₂+a₃，2（a₁+a₂）=a₂+a₃，
a₃=2a₁+a₂，a1q2=2a₁+a₁q，q²-q-2=0，q=-1，q=2，
由a_n＞0，q=2．
故an=2n．

（Ⅱ）方法一：bn=(1-

2

2n

)2+a(1+

1

2n

)，
令

1

2n

=t∈{

1

2

，

1

4

，

1

8

，…，

1

2n

，…}，
則bn=(1-2t)2+a(1+t)=4t²+（a-4）t+a+1，
對稱軸t=

a-4

-8

=

4-a

8

，
①當0≤a＜1時，對稱軸t=

4-a

8

＞

3

8

，數列{b_n}單調遞增，最小項為b1=

3

2

a；
②當a=1時，對稱軸t=

4-a

8

=

3

8

，恰好位于

1

2

與

1

4

的中間，則b₁=b₂，
故n＞1時，數列{b_n}單調遞增，最小項為b1=b2=

3

2

；
③當1＜a≤2時，對稱軸t=

4-a

8

∈[

1

4

，

3

8

)，位于

1

2

與

1

4

之間而靠近于

1

4

，
故n＞1時，數列{b_n}單調遞增，b₁＞b₂，最小項為b2=

5

4

a+

1

4

．
方法二：由bn=(1-

2

an

)2+a(1+

1

an

)=(1-

2

2n

)2+a(1+

1

2n

)，
則bn+1=(1-

2

2n+1

)2+a(1+

1

2n+1

)，
bn+1-bn=(1-

2

2n+1

)2+a(1+

1

2n+1

)-(1-

2

2n

)2-a(1+

1

2n

)
=(2-

2

2n+1

-

2

2n

)(

2

2n

-

2

2n+1

)+a(

1

2n+1

-

1

2n

)=(

1

2n+1

-

1

2n

)(a-4+

4

2n+1

+

4

2n

)，
由

1

2n+1

-

1

2n

＜0，
①當a-4+

4

2n+1

+

4

2n

＜0，得a＜4-

4

2n+1

-

4

2n

，
函數f(n)=4-

4

2n+1

-

4

2n

單調遞增，即a＜f（1）=1，b_n+1-b_n＞0，數列{b_n}單調遞增，
最小項為b1=

3

2

a；
②當a=1時，b₂-b₁=0，n＞1，a-4+

4

2n+1

+

4

2n

=

4

2n+1

+

4

2n

-3＜0，b_n+1-b_n＞0，
故n＞1時，數列{b_n}單調遞增，最小項為b1=b2=

3

2

； 
③由b3-b2=(

1

23

-

1

22

)(a-4+

4

23

+

4

22

)=0，求得a=

5

2

，則當1＜a≤2＜

5

2

時，b1=

3

2

a，b2=

5

4

a+

1

4

，b1-b2=

1

4

a-

1

4

＞0，b₁＞b₂，n＞1，a-4+

4

2n+1

+

4

2n

≤

4

2n+1

+

4

2n

-2＜0，
得b_n+1-b_n＞0，
故n＞1時，數列{b_n}單調遞增，最小項為b2=

5

4

a+

1

4

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，老師的函數特征，數列與不等式相結合，求解數列的最小值，考查分析問題解決問題的能力．