Question

已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：，，
（1）設(shè)，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)，，且是等比數(shù)列，求和的值．

Answer 1

（1）見解析
（2）

（1）根據(jù)題設(shè)和，求出，從而證明而得證。
（2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列的公比。
從而得到的結(jié)論，再由知是公比是的等比數(shù)列。最后用反證法求出
解：（1）∵，∴。
∴ 。
∴   。
∴數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列。
（2）∵，∴。
∴。（﹡）
設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明
若則，∴當(dāng)時，，與（﹡）矛盾。
若則，∴當(dāng)時，，與（﹡）矛盾。
∴綜上所述，。∴，∴。
又∵，∴是公比是的等比數(shù)列。
若，則，于是。
又由即，得。
∴中至少有兩項相同，與矛盾�！�。
∴。
∴
【考點定位】本題綜合考查等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的有關(guān)知識的靈活運用，指數(shù)冪和根式的互化，數(shù)列通項公式的求解，注意利用等差數(shù)列的定義證明問題時一般思路和基本方法，本題是有關(guān)數(shù)列的綜合題，從近幾年的高考命題趨勢看，數(shù)列問題仍是高考的熱點、重點問題，在訓(xùn)練時，要引起足夠的重視。