Question

已知函數(shù)f（x）=

ex+x-a

-x在[0，1]上有零點．
（1）求實數(shù)a的取值范圍
（2）對（1）中a的最大值記為t，定義g（x）=（t）^x，（x∈R），g′（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是g（x）圖象上的兩點，且g′（x₀）=

y2-y1

x2-x1

，試判定x₀，x₁，x₂大小，并證明．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的判定定理

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意得：a=e^x-x²+x，x∈[0，1]，設(shè)g（x）=e^x-x²+x，從而求出g（x）＞g（1）=e-1＞0，進(jìn)而求出則a的范圍是[1，e]．
（2）由（1）知：t=e，由g（x）的圖象猜想：x₁＜x₀＜x₂，只需證

ex1+ex1(x2-x1)-ex2＜0① ex2-ex2(x2-x1)-ex1＜0②

，從而解決問題．

解答： 解：（1）∵f（x）在[0，1]上有零點，即

ex+x-a

=x有根，
∴a=e^x-x²+x，x∈[0，1]，
設(shè)g（x）=e^x-x²+x，
∴g′（x）=e^x-2x+1，
∴g″（x）=e^x-2＜0，
令g″（x）＞0，解得：x＞ln2，
令g″（x）＜0，解得：0＜x＜ln2，
∴g′（x）在（0，ln2）遞減，在（ln2，1]遞增，
∴g′（x）＞g（1n2）＞0，
即g′（x）在[0，1]遞增，
∴g（x）∈[1，e]，
則a的范圍是[1，e]．
（2）由（1）知：t=e，
∴g（x）=e^x，
由g（x）的圖象猜想：x₁＜x₀＜x₂，
∵g′（x₀）=ex0=

ex2-ex1

x2-x1

，
要證x₁＜x₀＜x₂，
只需證ex1＜

ex2-xx1

x2-x1

＜ex2，
只需證

ex1+ex1(x2-x1)-ex2＜0① ex2-ex2(x2-x1)-ex1＜0②

，
設(shè)①中m（x）=e^x+e^x（x₂-x）-ex2，
∵m′（x）=-e^x（x-x₂）≥0，
∴m（x）在（-∞，x₂]上遞增，
又∵x₁＜x₂，∴m（x₁ ）＜m（x₂ ），
即ex1+ex1（x₂-x₁）-ex2＜0，
同理可證②也成立，
故x₁＜x₀＜x₂．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道綜合題．