Question

9．如圖，在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A=60°，a=3．求△ABC的周長L的最大值．

Answer 1

分析 利用正弦定理把b，c用B，C表示出來，根據(jù)C=$\frac{2π}{3}-B$將L表示成關(guān)于B的函數(shù)，利用B的范圍求出L的最大值．

解答 解：由正弦定理得$\frac{c}{sinC}=\frac{sinB}=\frac{a}{sinA}=2\sqrt{3}$．
∴b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}-B$）=3cosB+$\sqrt{3}$sinB．
∴L=a+b+c=3+3$\sqrt{3}$sinB+3cosC=3+6sin（B+$\frac{π}{6}$）．
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴當(dāng)B=$\frac{π}{3}$時，L取得最大值9．

點評 本題考查了正弦定理，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．