Question

19．已知函數(shù)f（x）=sinx-$\frac{x}{2}$．當(dāng)0＜x＜1時，不等式f（x）•log₂（x-2^m+$\frac{5}{4}$）＞0恒成立．則實(shí)數(shù)m得到取值范圍是（-∞，-2]．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法 轉(zhuǎn)化求最值問題即可．

解答 解：函數(shù)f′（x）=cosx-$\frac{1}{2}$，當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，則函數(shù)f（x）在0＜x＜1上為增函數(shù)，
此時f（x）＞f（0）=0，
∴不等式f（x）•log₂（x-2^m+$\frac{5}{4}$）＞0等價為log₂（x-2^m+$\frac{5}{4}$）＞0成立，
即x-2^m+$\frac{5}{4}$＞1恒成立，即x＞2^m-$\frac{1}{4}$，
∵0＜x＜1，∴2^m-$\frac{1}{4}$≤0，即2^m≤$\frac{1}{4}$，
得m≤-2．
故答案為：（-∞，-2]

點(diǎn)評 本題主要考查不等式恒成立問題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求最值是解決本題的關(guān)鍵．