Question

5．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$$-\overrightarrow{AC}$|=2．
（1）求|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{AC}$|²的值；
（2）若A=$\frac{π}{3}$，求△ABC三邊的長．

Answer 1

分析 （1）對條件式兩邊平方即可解出；
（2）根據(jù)向量的數(shù)量積得出AB•AC，聯(lián)立方程組解出AB，AC，BC=|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|=2．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$$-\overrightarrow{AC}$|=2，
∴|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{AC}$|²-2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=4，即|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{AC}$|²-4=4，
∴|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{AC}$|²=8．
（2）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=AB•AC•cosA=$\frac{1}{2}$AB•AC=2．
∴AB•AC=4．
∴（AB-AC）²=AB²+AC²-2AB•AC=0．
∴AB=AC=2．
BC=|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|=2．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，向量的三角形法則，屬于中檔題．