Question

7．函數(shù)y=$\frac{sinx+1}{cosx+3}$的值域為[0，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 由題意可得sin（x+θ）=$\frac{3y-1}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$，再根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得-1≤$\frac{3y-1}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$≤1，由此求得y的范圍．

解答 解：∵y=$\frac{sinx+1}{cosx+3}$，∴sinx+1=ycosx+3y，即 sinx-ycosx=3y-1，
即$\sqrt{{1+y}^{2}}$sin（x+θ）=3y-1，其中tanθ=-y，即 sin（x+θ）=$\frac{3y-1}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$．
再根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得-1≤$\frac{3y-1}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$≤1，（3y-1）²≤1+y²，
求得0≤y≤$\frac{3}{4}$，故函數(shù)y的值域為[0，$\frac{3}{4}$]，
故答案為：[0，$\frac{3}{4}$]．

點評 本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的值域，三角函數(shù)的最值，屬于中檔題．