Question

17．在（2-x）¹⁴（x∈R，x≠0）的展開式中，已知第2r項(xiàng)與第r+1項(xiàng)（（r≠1）的二項(xiàng)式系數(shù)相等．
（Ⅰ）求r的值；
（Ⅱ）若該展開式的第r項(xiàng)的值與倒數(shù)第r項(xiàng)的值相等，求x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得r的值．
（Ⅱ）利用通項(xiàng)公式求得T₅=${C}_{14}^{4}$•2¹⁰•（-x）⁴，倒數(shù)第5項(xiàng)，即T₁₁=${C}_{14}^{10}$•2⁴•（-x）¹⁰，根據(jù)這兩項(xiàng)相等，解得x的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，2r-1=r+1-1或2r-1+r=14，解得r=1（舍去） 或r=5，
故r的值為5．
（Ⅱ）由題意可得T_r=${C}_{14}^{r-1}$•2^15-r•（-x）^r-1，當(dāng)r=5時(shí)，T₅=${C}_{14}^{4}$•2¹⁰•（-x）⁴，
倒數(shù)第5項(xiàng)，即T₁₁=${C}_{14}^{10}$•2⁴•（-x）¹⁰，
由題意  ${C}_{14}^{4}$•2¹⁰•（-x）⁴=${C}_{14}^{10}$•2⁴•（-x）¹⁰，解得x=±2．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．