Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，$\sqrt{{a_{n+1}}+1}-\sqrt{{a_n}+1}=1（{n∈{N^+}}）$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=（-1）ⁿa_n（n∈N⁺），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）由（1）得：（n≥2）${b_{n-1}}+{b_n}={（-1）^n}[{（n+1）^2}-{n^2}]={（-1）^n}（2n+1）$，對n分類討論，利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）由$\sqrt{{a_{n+1}}+1}-\sqrt{{a_n}+1}=1$，可知：數(shù)列$\left\{{\sqrt{{a_n}+1}}\right\}$是公差為1，首項為2的等差數(shù)列，
∴$\sqrt{{a}_{n}+1}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=n²+2n．
（2）由（1）得：b_n=（-1）ⁿ（n²+2n），
∴（n≥2）${b_{n-1}}+{b_n}={（-1）^n}[{（n+1）^2}-{n^2}]={（-1）^n}（2n+1）$，
n為偶數(shù)時，T_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_n-1+b_n）=5+9+…+（2n+1）=$\frac{n（n+3）}{2}$；
n為奇數(shù)時，T_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_n-2+b_n-1）+b_n=5+9+…+（2n-1）-（n+1）²+1=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}-{（n+1）^2}+1=-\frac{{{n^2}+3n+2}}{2}$．
∴${T_n}=\left\{\begin{array}{l}-\frac{{{n^2}+3n+2}}{2}，n為奇數(shù)\\ \frac{n（n+3）}{2}，n為偶數(shù)\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“分組求和”方法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．