Question

18．函數(shù)y=f（x）是最小正周期為4的偶函數(shù)，且在x∈[-2，0]時，f（x）=2x+1，若存在x₁，x₂，…x_n滿足0≤x₁＜x₂＜…＜x_n，且|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₁）|+…+|f（x_n-1-f（x_n））|=2016，則n+x_n的最小值為1513．

Answer 1

分析 由函數(shù)y=f（x）是最小正周期為4的偶函數(shù)可知函數(shù)的值域為[-3，1]，對任意x_i，x_j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x_i）-f（x_j）|≤f（x）_max-f（x）_min=4，要使m取得最小值，盡可能多讓x_i（i=1，2，3，…，m）取得最高點，然后可得n+x_n的最小值．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）是最小正周期為4的偶函數(shù)，且在x∈[-2，0]時，f（x）=2x+1，
∴函數(shù)的值域為[-3，1]，對任意x_i，x_j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x_i）-f（x_j）|≤f（x）_max-f（x）_min=4，
要使n+x_n取得最小值，盡可能多讓x_i（i=1，2，3，…，m）取得最高點，且f（0）=1，f（2）=-3，
∵0≤x₁＜x₂＜…＜x_m，|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₃）|+…+|f（x  _n-1）-f（x_n）|=2016，
∴n的最小值為$\frac{2016}{4}+1=505$，相應的x_n最小值為1008，則n+x_n的最小值為1513．
故答案為：1513．

點評 本題考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的有界性的應用，考查了分析問題和解決問題的能力，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，屬于難題