3.如圖,已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O,離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,以橢圓E的短軸的兩端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)所圍成的四邊形的周長(zhǎng)為8,直線l:y=kx+m與y軸交于點(diǎn)M,與橢圓E交于不同兩點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若$\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{BM}$,求m2的取值范圍.

分析 (1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$(a>b>0),由題意可知:4a=8,即a=2,由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,則c=$\sqrt{3}$,則b2=a2-c2=1,即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求出P(0,m),設(shè)A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),通過(guò)直線與橢圓方程聯(lián)立,利用△>0,推出不等式,k2-m2+4>0.由$\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{BM}$,得到x1=-3x2,由3(x1+x22+4x1x2=0,求得m2k2+m2-k2-4=0,則k2=$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$,然后求解m2的取值范圍.

解答 解:(1)由橢圓E焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$(a>b>0),
由橢圓E的短軸的兩端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)所圍成的四邊形的周長(zhǎng)為4a,
∴4a=8,即a=2,
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,則c=$\sqrt{3}$,
由b2=a2-c2=1.…(2分)
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$;…(4分)
(2)根據(jù)已知得P(0,m),設(shè)A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$,整理得(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0,
由已知得△=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0,
即k2-m2+4>0.
由韋達(dá)定理可知:x1+x2=-$\frac{2km}{4+{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{{m}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$,②
由$\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{BM}$,則-x1=3x2,即x1=-3x2
由3(x1+x22+4x1x2=0
∴$\frac{12{k}^{2}{m}^{2}}{({k}^{2}+4)^{2}}$+$\frac{4({m}^{2}-4)}{{k}^{2}+4}$=0,即m2k2+m2-k2-4=0.
當(dāng)m2=1時(shí),m2k2+m2-k2-4=0不成立.
∴k2=$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$,
∵k2-m2+4>0,
∴$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$-m2+4>0,即$\frac{(4-{m}^{2}){m}^{2}}{{m}^{2}-1}$>0.
∴1<m2<4,
∴m2的取值范圍為(1,4)

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于中檔題.

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