Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線（）與橢圓交于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí),求面積的最大值.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由再加上可得結(jié)論；（2）直線與圓錐曲線相交問題，又涉及到交點(diǎn)弦，設(shè)直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，然后消去（有時(shí)也可消去）得關(guān)于（或）的一元二次方程，再設(shè)交點(diǎn)為坐標(biāo)為，則可得，（用表示），同時(shí)這個(gè)方程中判別式（直線與橢圓相交），可得出的取值范圍.由此可由公式得出弦長，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，進(jìn)而可寫出的中垂線方程，可得與軸相交的交點(diǎn)的坐標(biāo)，于是有，這是關(guān)于的一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的知識(shí)或不等式的性質(zhì)可求得最大值.

試題解析：（1）由已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，，，，

橢圓的方程為

（2），消去得

直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，，可得（*）

設(shè)，

，，弦長，

中點(diǎn)， 設(shè)，，，

，

，時(shí)，，

考點(diǎn)：1.橢圓方程及性質(zhì)；2.直線與橢圓的綜合問題.