Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax²，x＞0
（1）當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若在區(qū)間（2，3）內(nèi)任取實(shí)數(shù)p，q（p＞q）都有不等式

f(p)-f(q)

p-q

＜1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），求證：f（x₂）＞-

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到；
（2）對任意實(shí)數(shù)p，q∈（2，3）（p＞q）都有不等式

f(p)-f(q)

p-q

＜1恒成立，即對任意實(shí)數(shù)p，q∈（2，3）（p＞q）都有不等式f（p）-p＜f（q）-q恒成立，記g（x）=f（x）-x，x∈（2，3），構(gòu)造函數(shù)h(x)=

lnx

x

，x∈(2，3)，求出最大值即可；
（3）方法一、即函數(shù)f'（x）=lnx+1-2ax，x＞0有兩個零點(diǎn)x₁，x₂，討論a＞0，a≤0，再求導(dǎo)數(shù)，得到f′(

1

2a

)＞0，從而0＜a＜

1

2

，再討論f（x）的單調(diào)性，即可得證；
方法二、：f'（x）=lnx+1-2ax∴由函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂，得方程lnx+1-2ax=0有兩個不相等的正實(shí)根x₁，x₂即函數(shù)g（x）=lnx與函數(shù)h（x）=2ax-1有兩個交點(diǎn)，由直線與曲線相切，求出切線方程，得到
0＜a＜

1

2

，再討論f（x）的單調(diào)性，即可得證．

解答： （1）解：當(dāng)a=2時，有f（x）=xlnx-2x²
∴f'（x）=lnx+1-4x
∴f'（1）=-3又f（1）=-2
∴切線方程為y+2=-3（x-1）即y=-3x+1；
（2）解：若對任意實(shí)數(shù)p，q∈（2，3）（p＞q）都有不等式

f(p)-f(q)

p-q

＜1恒成立，
即對任意實(shí)數(shù)p，q∈（2，3）（p＞q）都有不等式f（p）-f（q）＜p-q恒成立，
，即對任意實(shí)數(shù)p，q∈（2，3）（p＞q）都有不等式f（p）-p＜f（q）-q恒成立，
記g（x）=f（x）-x，x∈（2，3），則g（x）在x∈（2，3）上為減函數(shù)
又g'（x）=lnx-2ax，x∈（2，3）∴對任意x∈（2，3）有l(wèi)nx-2ax≤0恒成立
∴2a≥(

lnx

x

)max，x∈(2，3)
記h(x)=

lnx

x

，x∈(2，3)
則h′(x)=

1-lnx

x2

，x∈(2，3)
∴h（x）在x∈（2，e]上單調(diào)遞增，在x∈[e，3）上單調(diào)遞減
∴h(x)max=h(e)=

1

e

∴a≥

1

2e

；
（3）證法一：∵f'（x）=lnx+1-2ax∴由函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂
得函數(shù)f'（x）=lnx+1-2ax，x＞0有兩個零點(diǎn)x₁，x₂
∵f″(x)=

1

x

-2a=

1-2ax

x

當(dāng)a≤0時，有f''（x）＞0此時f'（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增∴不符合，
∴a＞0此時x∈(0，

1

2a

)時，f''（x）＞0，x∈(

1

2a

，+∞)時，f''（x）＜0
∴f'（x）在x∈(0，

1

2a

)上單調(diào)遞增，在x∈(

1

2a

，+∞)上單調(diào)遞減
又f'（x）有兩個零點(diǎn)x₁，x₂，
∴f′(

1

2a

)＞0∴ln

1

2a

＞0∴

1

2a

＞1∴0＜a＜

1

2

，
∴當(dāng)x∈（0，x₁）時，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，f'（x）＞0，
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時，f'（x）＜0
∴f（x）在x∈（0，x₁）上單調(diào)遞減，在x∈（x₁，x₂）上單調(diào)遞增，
在x∈（x₂，+∞）上單調(diào)遞減
又f'（1）=1-2a＞0∴1∈（x₁，x₂）
∴f(x2)＞f(1)=-a＞-

1

2

．
證法二：∵f'（x）=lnx+1-2ax∴由函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂
得方程lnx+1-2ax=0有兩個不相等的正實(shí)根x₁，x₂
即函數(shù)g（x）=lnx與函數(shù)h（x）=2ax-1有兩個交點(diǎn)∴a＞0
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)（0，-1）的直線與曲線g（x）=lnx相切于點(diǎn)（x₀，lnx₀），
則切線方程為y-lnx0=

1

x0

(x-x0)，將點(diǎn)（0，-1）代入得x₀=1
∴切點(diǎn)為（1，0）此時，切線的斜率為k=1
∴要使函數(shù)g（x）=lnx與函數(shù)h（x）=2ax-1有兩個交點(diǎn)
由圖象可知0＜2a＜1且0＜x₁＜1＜x₂
又當(dāng)x∈（0，x₁）時，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，f'（x）＞0，
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時，f'（x）＜0
∴f（x）在x∈（0，x₁）上單調(diào)遞減，在x∈（x₁，x₂）上單調(diào)遞增，
在x∈（x₂，+∞）上單調(diào)遞減
又1∈（x₁，x₂）
∴f(x2)＞f(1)=-a＞-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用：求切線方程，求單調(diào)區(qū)間、求極值，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，以及構(gòu)造函數(shù)的能力，運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．