Question

11．已知a∈R，a＞1，解不等式（a-1）x²-ax+1＞0．

Answer 1

分析 不等式化為[（a-1）x-1]（x-1）＞0，由a＞1，求出不等式對應(yīng)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，討論a的取值范圍，求出對應(yīng)不等式的解集即可．

解答 解：不等式（a-1）x²-ax+1＞0可化為[（a-1）x-1]（x-1）＞0，
∵a＞1，∴a-1＞0，
不等式（x-$\frac{1}{a-1}$）（x-1）＞0對應(yīng)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為$\frac{1}{a-1}$和1，
令$\frac{1}{a-1}$=1，解得a=2，不等式為（x-1）²＞0，解集為{x|x≠1}；
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，$\frac{1}{a-1}$＞1，不等式的解集為{x|＜1或x＞$\frac{1}{a-1}$}；
當(dāng)a＞2時(shí)，$\frac{1}{a-1}$＜1，不等式的解集為{x|x＜$\frac{1}{a-1}$或x＞1}；
綜上，a=2時(shí)，不等式的解集為{x|x≠1}；
1＜a＜2時(shí)，不等式的解集為{x|＜1或x＞$\frac{1}{a-1}$}；
a＞2時(shí)，不等式的解集為{x|x＜$\frac{1}{a-1}$或x＞1}．

點(diǎn)評 本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想，是基礎(chǔ)題．