Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|-m
（1）當m=5時，求f（x）＞0的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥0的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）不等式f（x）≥0，即|x+1|+|x-2|-m≥0，利用絕對值三角不等式求得|x+1|+|x-2|≥3，可得m≤3，由此求得m的取值范圍．

解答 解 （1）由|x+1|+|x-2|＞5，
可得 $\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x+1+x-2＞5}\end{array}\right.$①，
或 $\left\{\begin{array}{l}{-1≤x＜2}\\{x+1+2-x＞5}\end{array}\right.$②，
或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1-x+2＞5}\end{array}\right.$③，
解①求得 x＞3，解②求得 x∈∅，解③求得x＜-2，
可解得f（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（3，+∞）．
（2）由題意，不等式|x+1|+|x-2|-m≥0的解集是R，
則m≤|x+1|+|x-2|在R上恒成立，
而|x+1|+|x-2|≥|x+1-（x-2）|=3，
故m≤3．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．