Question

1．函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+a}$的圖象關(guān)于點（1，1）對稱，g（x）=lg（10^x+1）+bx是偶函數(shù)，則a+b=（　�。�

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得y=m（x）=$\frac{x+1}{x+1+a}$-1 為奇函數(shù)，根據(jù)它的定義域關(guān)于原點對稱求得a的值，檢驗滿足條件；根據(jù)g（x）是偶函數(shù)，g（-1）=g（1），求得b的值，可得a+b的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+a}$的圖象關(guān)于點（1，1）對稱，
故把函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+a}$的圖象向左平移1個單位，再向下平移1個單位，所得圖象關(guān)于原點對稱，
即y=m（x）=$\frac{x+1}{x+1+a}$-1 為奇函數(shù)，故函數(shù)m（x）的定義域{x|x≠-a-1}關(guān)于原點對稱，
∴-a-1=0，∴a=-1，此時，m（x）=$\frac{x+1}{x}$-1=$\frac{1}{x}$，顯然，m（x）是奇函數(shù)．
又 g（x）=lg（10^x+1）+bx是偶函數(shù)，∴g（-1）=g（1），
即lg（$\frac{1}{10}$+1）-b=lg（10+1）+b=0，
即 2b=lg$\frac{11}{10}$-lg11=lg11-1-lg11=-1，∴b=-$\frac{1}{2}$．
綜上可得，a+b=-1-$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)的圖象平移規(guī)律，函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，屬于中檔題．