Question

1．在${（{\frac{1}{x}+1}）^3}{（{x+2}）^3}$的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（　�。�

• A． 36
• B． 48
• C． 63
• D． 72

Answer 1

分析 先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的系數(shù)等于0，求得k=2r，再分類討論即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值．

解答 解：${（{\frac{1}{x}+1}）^3}{（{x+2}）^3}$=（x+$\frac{2}{x}$+3）³的展開式的通項(xiàng)公式為C₃^k3^3-k（x+$\frac{2}{x}$）^k，
其中（x+$\frac{2}{x}$）^k的展開式的通項(xiàng)公式為C_k^r2^rx^k-2r，
當(dāng)k-2r=0時，即k=2r時x的系數(shù)為0，即為常數(shù)項(xiàng)，
若k=0時，其常數(shù)項(xiàng)C₃⁰3³=27，
若k=2時，r=1，其常數(shù)項(xiàng)C₂¹2¹C₃²3¹=36，
故在${（{\frac{1}{x}+1}）^3}{（{x+2}）^3}$的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為27+36=63，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，分類是關(guān)鍵，屬于中檔題．