Question

12．如圖，PA是⊙O的切線，切點為A，PB，PC是⊙O的割線，它們與⊙O分別交于B，D和C，E，延長CD交PA于M，∠MPC=∠MDP．
（Ⅰ）求證：AP∥BE；
（Ⅱ）求證：M是AP的中點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知題意可得△PMD∽△CMP，∠MPD=∠C，結(jié)合∠EBD=∠C得∠EBD=∠MPD，即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）由△PMD∽△CMP得MP²=MD•MC，即可證明M是AP的中點．

解答 證明：（Ⅰ）∵∠MPC=∠MDP且∠PMD=∠PMC，
∴△PMD∽△CMP，
∴∠MPD=∠C，
又∠EBD=∠C，
∴∠EBD=∠MPD，
∴AP∥BE---------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）△PMD∽△CMP，
∴$\frac{MP}{MD}=\frac{MC}{MP}$即MP²=MD•MC，
又MA是圓的切線，
∴MA²=MD•MC，
即MA²=MP²，
∴MA=MP，
即M是AP的中點------（10分）

點評 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查切割線定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．