Question

3．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BD是圓的直徑，AB=AC，延長(zhǎng)AD與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E，作EF⊥BD于F．
（1）證明：EC=EF；
（2）如果DC=$\frac{1}{2}$BD=3，試求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)證明△DEF≌△DEC，即可證明：EC=EF；
（2）如果DC=$\frac{1}{2}$BD=3，證明∠BDC=∠EDC，利用等腰三角形的性質(zhì)求DE的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求得∠ABC=∠CDE；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ADB=∠EDF，
∴∠CDE=∠EDF，
∵BD是圓的直徑，
∴BC⊥DC，
∵EF⊥BD，DE=DE，
∴△DEF≌△DEC，
∴EC=EF；
（2）解：∵DC=$\frac{1}{2}$BD=3，BC⊥DC，
∴∠BDC=60°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EDC=60°，
∴∠BDC=∠EDC，
∵DC⊥BC，
∴DE=BD=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形全等的證明，考查等腰三角形的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．