Question

8．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S₃=$\frac{7}{2}$，a₆，3a₅，a₇成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列b_n=$\frac{1}{（2lo{g}_{2}{a}_{n+1}+3）^{2}-1}$，且數(shù)列b_n的前n項(xiàng)的和T_n，試比較T_n與$\frac{1}{4}$的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出公比，問題得以解決；
（Ⅱ）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和裂項(xiàng)求和以及放縮法即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
因?yàn)閍₆，3a₅，a₇成等差數(shù)列，
所以6a₅=a₆+a₇，
所以6a₅=qa₅+q²a₅．
因?yàn)閍₅≠0，
所以q²+q-6=0，
又a_n＞0，
所以q=2．
由S₃=$\frac{7}{2}$，
解得a₁=$\frac{1}{2}$，
所以通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{1}{2}$•2^n-1=2^n-2．
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{（2lo{g}_{2}{a}_{n+1}+3）^{2}-1}$
=$\frac{1}{（2lo{g}_{2}{a}_{n+1}+3）^{2}-1}$
=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$
=$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
所以T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)以及裂項(xiàng)求和和放縮法，屬于中檔題．