Question

16．2016年國家已全面放開“二胎”政策，但考慮到經(jīng)濟(jì)問題，很多家庭不打算生育二孩，為了解家庭收入與生育二孩的意愿是否有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽查了某四線城市50個(gè)一孩家庭，它們中有二孩計(jì)劃的家庭頻數(shù)分布如下表：

家庭月收入 （單位：元）	2千以下	2千～5千	5千～8千	8千～一萬	1萬～2萬	2萬以上
調(diào)查的總?cè)藬?shù)	5	10	15	10	5	5
有二孩計(jì)劃的家庭數(shù)	1	2	9	7	3	4

（Ⅰ）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為是否有二孩計(jì)劃與家庭收入有關(guān)？說明你的理由．

	收入不高于8千的家庭數(shù)	收入高于8千的家庭數(shù)	合計(jì)
有二孩計(jì)劃的家庭數(shù)
無二孩計(jì)劃的家庭數(shù)
合計(jì)

（Ⅱ）若二孩的性別與一孩性別相反，則稱該家庭為“好字”家庭，設(shè)每個(gè)有二孩計(jì)劃的家庭為“好字”家庭的概率為$\frac{1}{2}$，且每個(gè)家庭是否為“好字”家庭互不影響，設(shè)收入在8千～1萬的3個(gè)有二孩計(jì)劃家庭中“好字”家庭有X個(gè)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
下面的臨界值表供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025
k	2.072	2.706	3.841	5.024

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意得a=12，b=18，c=14，d=6，從而得到2×2列聯(lián)表，從而求出K²≈4.327＞3.841，從而有95%的把握認(rèn)為是否有二孩計(jì)劃與家庭收入有關(guān)．
（II）由題意知，X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{2}$），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）依題意得a=12，b=18，c=14，d=6

	收入不高于8千的家庭數(shù)	收入高于8千的家庭數(shù)	合計(jì)
有二孩計(jì)劃的家庭數(shù)	12	14	26
無二孩計(jì)劃的家庭數(shù)	18	6	24
合計(jì)	30	20	50

${K^2}=\frac{{50（12×6-18×14{）^2}}}{30×20×26×24}=\frac{225}{52}≈4.327＞3.841$
因此有95%的把握認(rèn)為是否有二孩計(jì)劃與家庭收入有關(guān)．
（II）由題意知，X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{2}$），
$P（X=0）={（\frac{1}{2}）^3}$=$\frac{1}{8}$，
$P（X=1）=C_3^1（\frac{1}{2}）•{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{3}{8}$，
$P（X=2）=C_3^2{（\frac{1}{2}）^2}•\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$，
$P（X=3）={（\frac{1}{2}）^3}=\frac{1}{8}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

$E（X）=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)、二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．