Question

15．如圖是某四面體ABCD水平放置時(shí)的三視圖（圖中網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)為1，則四面體ABCD外接球的表面積為（　�。�

• A． 20π
• B． $\frac{125}{6}π$
• C． 25π
• D． 100π

Answer 1

分析 還原三視圖成直觀圖，得到如圖所示的三棱錐P-ABC，其中AC⊥BC，PA⊥平面ABC，AB=BC=2$\sqrt{2}$且PA=3．利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證出PB是Rt△PAB與Rt△PBC公共的斜邊，從而得到PB的中點(diǎn)O就是多面體的外接球的球心．再根據(jù)勾股定理和球的表面積公式加以計(jì)算，可得答案．

解答 解：根據(jù)三視圖的形狀，將該多面體還原成直觀圖，得到如圖所示的三棱錐P-ABC．
其中△ABC中，AC=4，AB=BC=2$\sqrt{2}$，PA⊥平面ABC，PA=3
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC．
∵BC⊥AC，PA∩AC=C，∴BC⊥平面PAC
結(jié)合PC?平面PAC，得BC⊥PC
因此，PB是Rt△PAB與Rt△PBC公共的斜邊，設(shè)PB的中點(diǎn)為0，則OA=OB=OC=OP=$\frac{1}{2}$PB．
∴PB的中點(diǎn)O就是多面體的外接球的球心
∵Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，
∴AB=2$\sqrt{2}$．
又∵Rt△PAB中，PA=3，
∴PB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
所以外接球表面積為S=4πR²=25π．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題給出三視圖，求多面體的外接球的表面積．著重考查了三視圖的認(rèn)識(shí)、線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理和球的表面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．