Question

已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，且， ．

（1）證明：數(shù)列{a2k}（）為等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列{an}的通項公式；

（3）設 （λ為非零整數(shù)）．試確定λ的值，使得對任意都有成立．

 

Answer 1

（1）見解析；（2）an＝；（3）λ＝－1

【解析】試題分析：（1）利用等比數(shù)列的定義證明；（2）利用（1）的結(jié)論，以及a2n－1與a2n＋1的關系，可以分奇偶數(shù)寫出{an}的通項公式；（3）利用（1）（2）的結(jié)論，將a2k和a2k－1的表達式代入bk，再利用作差法確定λ的取值范圍.過程中注意對k的奇偶情況進行討論.

試題解析：（1）設n＝2k（k∈N*）

∵a2n＋2＝（1＋2|coskπ|）a2k＋|sinkπ|＝3a2k，

又a2＝3，

∴當k∈N*時，數(shù)列{a2k}為首項為3，公比為3的等比數(shù)列； 3'

（2）設n＝2k－1（k∈N*）

由a2k＋1＝（1＋2|cos（k－）π|）a2k－1＋|sin（k－）π|＝a2k－1＋1

∴當k∈N*時，{a2k－1}是等差數(shù)列

∴a2k－1＝a1＋（k－1）·1＝k 5'

又由（1）當k∈N*時，數(shù)列{a2k}為首項為3，公比為3的等比數(shù)列

∴a2k＝a2·3k－1＝3k 6'

綜上，數(shù)列{an}的通項公式為an＝ 7'

（3）bk＝a2k＋（－1）k－1λ·2＝3k＋（－1）k－1λ·2k，

∴bk＋1－bk＝3k＋1＋（－1）kλ·2k＋1－3k－（－1）k－1λ·2k

＝2·3k＋（－1）kλ·3·2k

由題意，對任意k∈N*都有bk＋1＞bk成立

∴bk＋1－bk＝2·3k＋（－1）kλ·3·2k＞0恒成立

? 2·3k＞（－1）k－1λ·3·2k對任意k∈N*恒成立 9'

①當k為奇數(shù)時，2·3k＞λ·3·2k ? λ＜對任意k∈N*恒成立

∵k∈N*，且k為奇數(shù)，∴＝1

∴λ＜1 10'

②當k為偶數(shù)時，2·3k＞－λ·3·2k ? λ＞－對任意k∈N*恒成立

∵k∈N*，且k為偶數(shù)，∴，∴λ＞－ 11'

綜上：有－＜λ＜1 12'

∵λ為非零整數(shù)，∴λ＝－1.

 

考點：等差數(shù)列，等比數(shù)列，通項公式，不等式恒成立，分類討論