Question

1．已知連續(xù)不斷函數(shù)f（x）=sinx+x-$\frac{π}{4}$（0＜x＜$\frac{π}{2}$），g（x）=cosx-x+$\frac{π}{4}$（0＜x＜$\frac{π}{2}$）．
（1）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）現(xiàn)已知函數(shù)g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)（不必證明），記f（x）和g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上的零點(diǎn)分別為x₁，x₂，求證：x₁+x₂=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 （1）可判斷f（0）=-$\frac{π}{4}$＜0，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明．
（2）化簡(jiǎn)可得cos（$\frac{π}{2}$-x₁）-（$\frac{π}{2}$-x₁）+$\frac{π}{4}$=0，從而證明．

解答 證明：（1）∵f（0）=-$\frac{π}{4}$＜0，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，
∴f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上有一個(gè)零點(diǎn)；
又∵f（x）=sinx+x-$\frac{π}{4}$在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）∵f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x₁，
∴f（x₁）=sinx₁+x₁-$\frac{π}{4}$=0，
即cos（$\frac{π}{2}$-x₁）-（$\frac{π}{2}$-x₁）+$\frac{π}{4}$=0，
又∵函數(shù)g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x₂，
∴$\frac{π}{2}$-x₁=x₂，
即x₁+x₂=$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用．