Question

13．已知如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC，且AB⊥AC，M是面CC₁的中點，N是BC的中點，點P在直線A₁B₁上．
（Ⅰ）若P為A₁B₁中點，求證：NP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）證明：PN⊥AM．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出NP∥平面ACC₁A₁．
（2）求出$\overrightarrow{AM}$=（0，2，1），$\overrightarrow{PN}$=（0，1，-2），利用向量法能證明PN⊥AM．

解答 證明：（Ⅰ）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)AA₁=AC=2，AB=2a，
則B（2a，0，0），C（0，2，0），N（a，1，0），P（a，0，2），
$\overrightarrow{NP}$=（0，-1，2），平面ACC₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{n}$=0，
∵NP?平面ACC₁A₁，∴NP∥平面ACC₁A₁．
（2）M（0，2，1），$\overrightarrow{AM}$=（0，2，1），
又$\overrightarrow{PN}$=（0，1，-2），
∴$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{AM}$=0+2-2=0，
∴$\overrightarrow{PN}$⊥$\overrightarrow{AM}$，
∴PN⊥AM．

點評 本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．