Question

10．已知{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a₃+1是a₂與a₄的等差中項且a_n+2=a_n+1+2a_n，
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設${b_n}=\frac{{{{（{a_n}+1）}^2}}}{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設{a_n}是各項均為正數(shù)，公比為q的等比數(shù)列，運用等差數(shù)列的中項的性質和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公比，進而得到所求通項公式；
（II）求得${b_n}=\frac{{a_n^2+2{a_n}+1}}{a_n}={a_n}+\frac{1}{a_n}+2={2^{n-1}}+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+2$，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，運用等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）設{a_n}是各項均為正數(shù)，公比為q的等比數(shù)列，
令n=1，得a₃=a₂+2a₁，
所以有q²-q-2=0，解得q=2，
又a₃+1是a₂與a₄的等差中項，
可得2（a₃+1）=a₂+a₄，
得2（4a₁+1）=2a₁+8a₁，解得a₁=1，
所以${a_n}={2^{n-1}}$；                                      
（II）${b_n}=\frac{{a_n^2+2{a_n}+1}}{a_n}={a_n}+\frac{1}{a_n}+2={2^{n-1}}+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+2$，
所以${T_n}=（1+2+{2^2}+…+{2^{n-1}}）+（1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）+2n$
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$+2n           
=${2^n}-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+2n{+}1$．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，注意運用等差數(shù)列的性質，同時考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查運算能力，屬于中檔題．