Question

16．如圖，在三棱錐A-BCD中，BC=DC=AB=AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，平面ABD⊥平面BCD，O為BD中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為線段AO，BC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且AP=CQ，則三棱錐P-QCO體積的最大值為（　　）

• A． $\frac{1}{12}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{48}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)出AP，表示出三棱錐P-QCO體積的表達(dá)式，然后求解最值即可．

解答 解：由題意，在三棱錐A-BCD中，
BC=DC=AB=AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，
底面△BCD是等腰直角三角形，
又∵平面ABD⊥平面BCD，O為BD中點(diǎn)，
∴AO⊥平面BCD，∴△AOC是直角三角形，∴BD⊥平面AOC，
設(shè)AP=x，（x∈（0，1）），
三棱錐P-QCO體積為：V=$\frac{1}{3}$S_△POC•h，
h為Q到平面AOC的距離，h=xsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
V=$\frac{1}{3}$S_△POC•h=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-x）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=$\frac{1}{6}$（$\sqrt{2}$x-x²）=-$\frac{1}{6}$（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{1}{12}$，
故當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，三棱錐P-QCO體積的最大值$\frac{1}{12}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的最值的求法，正確路直線與平面垂直的判定定理以及平面余平米垂直的性質(zhì)定理，表示出幾何體的體積是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．