Question

15．已知函數(shù)f（x）=4sin（ωx-$\frac{π}{4}$）•cosωx在x=$\frac{π}{4}$處取得最值，其中ω∈（0，2）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{36}$個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，若方程g（x）+k=0在[0，π]上有解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦、余弦公式，兩角差的正弦公式化簡解析式，根據(jù)題意和正弦函數(shù)的最值列出方程，化簡后由ω的范圍求出ω，由周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）由（1）和三角函數(shù)圖象平移變換法則求出g（x），由x的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出g（x）的值域，分離出k后結(jié)合條件即可求出k的取值范圍．

解答 解：（1）$f（x）=4sin（ωx-\frac{π}{4}）•cosωx=2\sqrt{2}sinωx•cosωx-2\sqrt{2}{cos^2}ωx$
=$\sqrt{2}sin2ωx-\sqrt{2}cos2ωx-\sqrt{2}=2sin（2ωx-\frac{π}{4}）-\sqrt{2}$，…（3分）
因為f（x）在$x=\frac{π}{4}$處取得最值，
所以$2ω•\frac{π}{4}-\frac{π}{4}=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，即$ω=2k+\frac{3}{2}，k∈Z$，
因為ω∈（0，2），所以當(dāng)k=0時，$ω=\frac{3}{2}$，
則$f（x）=2sin（3x-\frac{π}{4}）-\sqrt{2}$，
所以$T=\frac{2π}{3}$．…（6分）
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{36}$個單位，
得$y=2sin[3（x+\frac{π}{36}）-\frac{π}{4}]-\sqrt{2}=2sin（3x-\frac{π}{6}）-\sqrt{2}$，
再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，
得$g（x）=2sin（x-\frac{π}{6}）-\sqrt{2}$，…（9分）
因為當(dāng)x∈[0，π]時，$-\frac{π}{6}≤x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
所以$-\frac{1}{2}≤sin（x-\frac{π}{6}）≤1$，$g（x）∈[-1-\sqrt{2}，2-\sqrt{2}]$，
因為方程g（x）+k=0在[0，π]上有解，所以k=-g（x）在[0，π]上有解，
所以$k∈[\sqrt{2}-2，\sqrt{2}+1]$，
即實數(shù)$k的取值范圍為[\sqrt{2}-2，\sqrt{2}+1]$．…（12分）

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換中的公式，三角函數(shù)圖象平移變換法則，以及方程解的個數(shù)問題，考查轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，化簡、變形能力．