Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{sinx}$，$\frac{-1}{sinx}$），$\overrightarrow$=（2，cos²x-sin²x）．
（1）試判斷$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$能否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若x∈（0，$\frac{π}{3}$]，求函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最小值．

Answer 1

分析 （1）判斷出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不能平行，利用向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算列出方程，由二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)后，由余弦函數(shù)的值域進(jìn)行判斷；
（2）由向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算、二倍角的余弦公式以及變形化簡(jiǎn)f（x），由正弦函數(shù)的性質(zhì)和f（x）的單調(diào)性求出f（x）的最小值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不能平行，原因如下：
若向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{sinx}$，$\frac{-1}{sinx}$），$\overrightarrow$=（2，cos²x-sin²x）平行，
則$\frac{1}{sinx}×（co{s}^{2}x-si{n}^{2}x）-（\frac{-1}{sinx}×2）$=0，
$\frac{1}{sinx}（cos2x+2）=0$，
∵$\frac{1}{sinx}≠0$，∴cos2x+2=0，即cos2x=-2不成立，
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不能平行；
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{2}{sinx}-\frac{1}{sinx}（co{s}^{2}x-si{n}^{2}x）$
=$\frac{1}{sinx}•（2-cos2x）$=$\frac{1}{sinx}•（3-2si{n}^{2}x）$
=$\frac{3}{sinx}-2sinx$，
由x∈（0，$\frac{π}{3}$]得，sinx∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∵f（x）=$\frac{3}{sinx}-2sinx$隨著sinx的增大而減小，
∴當(dāng)sinx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，f（x）取到最小值是$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，向量平行、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二倍角余弦公式以及變形，考查化簡(jiǎn)、變形能力．