Question

5．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂：x²-y²=4有相同的右焦點F₂，點P是橢圓C₁和雙曲線C₂的一個公共點，若|PF₂|=2，則橢圓C₁的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\sqrt{2}-1$
• D． $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用雙曲線、橢圓的定義，求出a，利用雙曲線的性質(zhì)，求出c，即可求出橢圓C₁的離心率．

解答 解：由題意，不妨設(shè)P在第一象限，
∵|PF₂|=2，∴|PF₁|=6，
∴2a=|PF₂|+|PF₂|=8，
∴a=4．
∵雙曲線C₂：x²-y²=4可化為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴c=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$
∵橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂：x²-y²=4有相同的右焦點F₂，
∴c=2$\sqrt{2}$，
∴橢圓C₁的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確運用離心率的定義，屬于基礎(chǔ)題．