Question

10．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是雙曲線C：x²-y²=4上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作雙曲線C的某一條漸近線的垂線，垂足為N，則|ON|•|MN|的值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 設(shè)M（m，n），即有m²-n²=4，求出雙曲線的漸近線為y=±x，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理可得|ON|，化簡(jiǎn)整理計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)M（m，n），即有m²-n²=4，
雙曲線的漸近線為y=±x，
可得|MN|=$\frac{|m-n|}{\sqrt{2}}$，
由勾股定理可得|ON|=$\sqrt{|OM{|}^{2}-|MN{|}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}-\frac{（m-n）^{2}}{2}}$=$\frac{|m+n|}{\sqrt{2}}$，
可得|ON|•|MN|=$\frac{|m+n|}{\sqrt{2}}$•$\frac{|m-n|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|{m}^{2}-{n}^{2}|}{2}$=2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線方程的運(yùn)用，注意點(diǎn)滿足雙曲線的方程，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．