如圖,在三棱錐中,平面平面,,.設(shè)分別為,中點.

(Ⅰ)求證:∥平面
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)試問在線段上是否存在點,使得過三點 ,,的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行?若存在,指出點的位置并證明;若不存在,請說明理由.

(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)存在,點是線段中點。

解析試題分析:(Ⅰ)由中位線直接可得,由線面平行的判定定理可直接證得∥平面。(Ⅱ)根據(jù)線面垂直的判定定理需證和面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。已知條件中已有,又因為已知平面平面,,由面面垂直的性質(zhì)定理可得,有線面垂直可得線線垂直。問題即可得證。(Ⅲ)要使得過三點 ,,的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行,只需證面DEF與面PBC平行即可。根據(jù)面面平行的定理,需證面DEF內(nèi)的兩條相交線都和面PBC平行。第一問中已征得∥平面,根據(jù)第一問的思路,F(xiàn)別為AB的中點,就可同(Ⅰ)證出PF與面PBC平行。
試題解析:證明:
(Ⅰ)因為點中點,點的中點,
所以
又因為,,
所以∥平面.               4分
(Ⅱ)因為平面, 平面平面=,又平面,所以.
所以
又因為,且,
所以.                   9分
(Ⅲ)當(dāng)點是線段中點時,過點,,的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行.
中點,連,連.

由(Ⅰ)可知∥平面
因為點中點,點的中點,
所以
又因為平面平面,
所以∥平面
又因為,
所以平面∥平面
所以平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行.
故當(dāng)點

練習(xí)冊系列答案
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如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,, 平面,且,的中點

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(I)求證:EF∥平面BDC1;
(II)求二面角E-BC1-D的余弦值

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