Question

5．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且$\frac{S_4}{S_2}$=10，a₃=9．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和為S_n；
（2）若數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為$\frac{b_n}{{2{a_n}}}$=n-3，
（ⅰ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n；
（ⅱ）探究：數(shù)列{b_n}是否有最小項(xiàng)？若沒有，請(qǐng)通過計(jì)算得到最小項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和等比數(shù)列的求和公式即可求出公比q和a₁，即可求出相對(duì)應(yīng)的答案．
（2）（i）利用錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，
（ii）法一：假設(shè)數(shù)列{b_n}中第k項(xiàng)最小，則$\left\{{\begin{array}{l}{{b_k}≤{b_{k-1}}}\\{{b_k}≤{b_{k+1}}}\end{array}}\right.$，解得判斷即可，
法二：由（�。┲�，${b_n}=（2n-6）•{3^{n-1}}$，且3^n-1＞0，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性即可判斷．

解答 解：（1）顯然數(shù)列{a_n}的公比不為1，故$\frac{S_4}{S_2}=\frac{{1-{q^4}}}{{1-{q^2}}}=10$，
解得q=3（q=-3舍去），
所以${a_1}=\frac{a_3}{q^2}=1$，
故${a_n}={3^{n-1}}$，
${S_n}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$．
（2）（ⅰ）依題意，${b_n}=（2n-6）•{3^{n-1}}$，
${T_n}=（-4）•{3^0}+（-2）•{3^1}+0•{3^2}+…+（2n-6）•{3^{n-1}}$，
$3{T_n}=（-4）•{3^1}+（-2）•{3^2}+0•{3^3}+…+（2n-6）•{3^n}$，
兩式相減，$-2{T_n}=-4+2•{3^0}+2•{3^1}+2•{3^2}+…+2•{3^{n-1}}-（2n-6）•{3^n}$，
故$-2{T_n}=（7-2n）•{3^n}-7$，
即${T_n}=\frac{2n-7}{2}•{3^n}+\frac{7}{2}$．
（ⅱ）法一：假設(shè)數(shù)列{b_n}中第k項(xiàng)最小，
則$\left\{{\begin{array}{l}{{b_k}≤{b_{k-1}}}\\{{b_k}≤{b_{k+1}}}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{2（k-3）•{3^{k-1}}≤2（k-4）•{3^{k-2}}}\\{2（k-3）•{3^{k-1}}≤2（k-2）•{3^k}}\end{array}}\right.$，
解得$\frac{3}{2}≤k≤\frac{5}{2}$，因?yàn)閗∈N^*，故k=2，
則數(shù)列{b_n}有最小項(xiàng)，最小項(xiàng)是第2項(xiàng)．
法二：由（ⅰ）知，${b_n}=（2n-6）•{3^{n-1}}$，且3^n-1＞0，
則當(dāng)n＞3時(shí)，b_n＞0，
當(dāng)n=3時(shí)，b_n=0，
當(dāng)0＜n＜3時(shí)，b_n＜0，
又b₁=-4，b₂=-6，
所以數(shù)列{b_n}有最小項(xiàng)，最小項(xiàng)是第2項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列的函數(shù)特性（單調(diào)性），考查推理與運(yùn)算能力，屬中檔題．