Question

3．如圖，在三棱錐P-ABC中，E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求證：BC⊥平面PEF．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)中位線定理得出EF∥AB，故而EF∥平面PAB；
（II）由平面PAC⊥平面ABC可得PE⊥平面ABC，故有PE⊥BC，由AB∥EF，∠ABC=90°可得BC⊥EF，從而BC⊥平面PEF．

解答 證明：（I）∵E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AB．
又EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（II）在三角形PAC中，∵PA=PC，E為AC中點(diǎn)，∴PE⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE?平面PAC，
∴PE⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，
∴PE⊥BC，
EF∥AB，∠ABC=90°，
∴EF⊥BC，EF?平面PEF，PE?平面PEF，EF∩PE=E，
∴BC⊥平面PEF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定，屬于中檔題．