Question

4．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為$4\sqrt{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率為k的直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F，且與橢圓交與A，B兩點(diǎn)，過(guò)線段AB的中點(diǎn)與AB垂直的直線交直線x=3于P點(diǎn)，若△ABP為等邊三角形，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）依題意$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}，2ab=4\sqrt{3}$，解得a²，b²的值，進(jìn)而可得橢圓方程；
（2）聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，結(jié)合韋達(dá)定理，及△ABP為正三角形時(shí)，$|{MP}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{AB}|$，求出k值，可得直線l的方程．

解答 解：（1）依題意$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}，2ab=4\sqrt{3}$，
可得$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{2}{3}，{a^2}{b^2}=12$…（2分）
得a²=6，b²=2．
所以所求橢圓方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$…（5分）
（2）直線l的方程為y=k（x-2），聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，
消去y并整理得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得${x_1}+{x_2}=\frac{{12{k^2}}}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{12{k^2}-6}}{{3{k^2}+1}}$，
所以$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{2\sqrt{6}（{k^2}+1）}}{{3{k^2}+1}}$…（7分）
設(shè)AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），得${x_0}=\frac{{6{k^2}}}{{3{k^2}+1}}$，${y_0}=-\frac{2k}{{3{k^2}+1}}$…（8分）
得直線MP的斜率為$-\frac{1}{k}$，又x_p=3，
所以$|{MP}|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}•|{{x_0}-{x_P}}|=\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{k^2}}•\frac{{3（{k^2}+1）}}{{（3{k^2}+1）}}$…（10分）
當(dāng)△ABP為正三角形時(shí)，$|{MP}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{AB}|$，
即$\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{k^2}}•\frac{{3（{k^2}+1）}}{{（3{k^2}+1）}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{{2\sqrt{6}（{k^2}+1）}}{{3{k^2}+1}}$．
解得k=±1．即直線l的方程為x-y-2=0或x+y-2=0…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，難度中檔．