Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．；（2）；（3）證明詳見解析.

【解析】

試題（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，分和兩種情況分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）知時(shí)，不成立，故，又由（1）知的最大值為，只需即可，即可求解；（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，有在恒成立，且在上是減函數(shù)，進(jìn)而，則，即，即可證明結(jié)論.

試題解析：（1） 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，若時(shí)，有，

若時(shí)，有，則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

（2）由（1）知時(shí)，在上是增函數(shù)，而不成立，故，又由（1）知的最大值為，要使恒成立，則即可，

即，得.

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，有在恒成立，且在上是減函數(shù)，

，即，在上恒成立，令，則，

即，從而

得證.