Question

設α，β為函數(shù)h（x）=2x²-mx-2的兩個零點，m∈R且α＜β，函數(shù)f（x）=

4x-m

x2+1

（1）求的f（α）•f（β）值；
（2）判斷f（x）在區(qū)間[α，β]上的單調(diào)性并用函數(shù)單調(diào)性定義證明；
（3）是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)f（x）在[α，β]的最大值與最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,函數(shù)的零點,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（1）結(jié)合韋達定理用m把α，β的和、乘積表示出來，代入所求化簡即可；
（2）利用定義進行證明，在判斷結(jié)果的符號時，要適當結(jié)合第一問m與α，β間的關(guān)系，將m用α，β替換，根據(jù)α，β與x₁，x₂的大小關(guān)系進行化簡判斷符號．
（3）先假設存在，根據(jù)已知構(gòu)造出取最值時的等式，只要取等號的條件存在，即存在．

解答： 解：（1）由題意得

α+β= m 2 αβ=-1

，
故f(α)•f(β)=

4α-m

α2+1

×

4β-m

β2+1

=

16αβ-4m(α+β)+m2

(αβ)2+(α+β)2-2αβ+1

=-4．
（2）?x₁，x₂∈[α，β]，x₁＜x₂，可得
f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)[4x1x2-4-m(x1+x2)]

(x12+1)(x22+1)

，
因為（x₁-α）（x₂-β）≤0，（x₁-β）（x₂-α）＜0，兩式相加得2x₁x₂-（α+β）（x₁+x₂）+2αβ＜0；
又因為α+β=

m

2

，αβ=-1，∴（x₂-x₁）[4x₁x₂-4-m（x₁+x₂）]＜0．
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，所以函數(shù)f（x）在[α，β]上為增函數(shù)．
（3）函數(shù)在[α，β]上為增函數(shù)，所以f(x)max-f(x)min=f(α)-f(β)=f(β)+

4

f(β)

≥4．
當且僅當f(β)=

4

f(β)

時，等號成立，此時f（β）=2，即

4β-m

β2+1

=2，2β2-mβ-2=0．
結(jié)合α+β=

m

2

，αβ=-1可得m=0．
綜上可得，存在實數(shù)m=0滿足題意．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的零點與方程的根之間的關(guān)系，即利用函數(shù)的觀點解決方程的問題，或利用方程思想來解決函數(shù)問題．屬于綜合題，有一定難度．