Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1，M是BC的中點(diǎn)，在直線CC₁上是否存在一點(diǎn)N，使得MN⊥AB₁？若存在，求出它的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：以A為原點(diǎn)，以AB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到的直線為x軸，以AC為y軸，以AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)A（0，0，0），B₁（

3

2

，

1

2

，2），M（

3

4

，

3

4

，0）
運(yùn)用

AB1

•

MN

=0，解方程求解，注意0≤z≤2的應(yīng)用．運(yùn)用代數(shù)的方法求解幾何問題．

解答： 解：以A為原點(diǎn)，以AB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到的直線為x軸，以AC為y軸，以AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1，M是BC的中點(diǎn)，
∴A（0，0，0），B₁（

3

2

，

1

2

，2），M（

3

4

，

3

4

，0）
設(shè)在側(cè)棱CC₁上是否存在點(diǎn)N（0，1，z），使得MN⊥AB₁，即使得異面直線AB₁與MN所成的角為90°，
∴

AB1

=（

3

2

，

1

2

，2），

MN

=（-

3

4

，

1

4

，z）
∵異面直線AB₁與MN所成角為90°，
∴

AB1

•

MN

=0，
-

3

8

+

1

8

+2z=0，z=

1

8

，0＜z＜2
解得z=

1

8

，符合題意．
∴在側(cè)棱CC₁上是存在點(diǎn)N，使異面直線AB₁與MN所成的角為90°，
即在側(cè)棱CC₁上是存在點(diǎn)N，使得MN⊥AB₁

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線AB₁與MN所成的角，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，有一定的探索性．