Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-1，1）、B（1，1），P是動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)AP與B 的斜率之積等于-$\frac{1}{3}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)AP與BP分別與直線(xiàn)x=3相交于點(diǎn)M、N，試問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得△PAB 與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)出P的坐標(biāo)，列出等式，用P的坐標(biāo)表示等式即可得到結(jié)果，注意范圍．（2）求出設(shè)出直線(xiàn)AP，BP方程，求出與x=3的交點(diǎn)坐標(biāo)，由題意列方程即可．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y），由題意得$\frac{y-1}{x+1}•\frac{y-1}{x-1}=-\frac{1}{3}$，
化簡(jiǎn)得 x²+3（y-1）²=1（x≠±1）．
故動(dòng)P的軌跡方程為x²+3（y-1）²=1（x≠±1）．
（2）若存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，設(shè)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），x₀∈[-1，1]
則$\frac{1}{2}|PA|•|PB|sin∠APB=\frac{1}{2}|PM|•|PN|sin∠MPN$．
因?yàn)閟in∠APB=sin∠MPN，
所以  $\frac{|PA|}{|PM|}=\frac{|PN|}{|PB|}$，
所以$\frac{|{x}_{0}+1|}{|3-{x}_{0}|}=\frac{|3-{x}_{0}|}{|{x}_{0}-1|}$，
即 $（3-{x}_{0）^{2}}=|{{x}_{0}}^{2}-1|$，
解得${x}_{0}=\frac{5}{3}$∉[-1，1]，
故不存在點(diǎn)P（x₀，y₀）使△PAB與△PMN的面積相等．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．第二問(wèn)由等量關(guān)系得到點(diǎn)P的坐標(biāo)得等式是解題關(guān)鍵．利用幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化可以減少運(yùn)算量．本題難度一般．