Question

在“出彩中國人”的一期比賽中，有6位歌手（1～6）登臺演出，由現(xiàn)場的百家大眾媒體投票選出最受歡迎的出彩之星，各家媒體獨(dú)立地在投票器上選出3位出彩候選人，其中媒體甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，另在2號至6號中隨機(jī)的選2名；媒體乙不欣賞2號歌手，他必不選2號；媒體丙對6位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至6號歌手中隨機(jī)的選出3名．
（Ⅰ）求媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率；
（Ⅱ）X表示3號歌手得到媒體甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設(shè)A表示事件：“媒體甲選中3號歌手”，事件B表示“媒體乙選中3號歌手”，事件C表示“媒體丙選中3號歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和對立事件的概率公式能求出媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率．
（Ⅱ）先由等可能事件概率計算公式求出P（C），由已知得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)A表示事件：“媒體甲選中3號歌手”，
事件B表示“媒體乙選中3號歌手”，事件C表示“媒體丙選中3號歌手”，
P（A）=

C 1 4

C 2 5

=

2

5

，P（B）=

C 2 4

C 3 5

=

3

5

，
媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率：
P（A

.

B

）=P（A）（1-P（B））=

2

5

×(1-

3

5

)=

4

25

．
（Ⅱ）P（C）=

C 2 5

C 3 6

，由已知得X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=P（

.

A

.

B

.

C

）=（1-

2

5

）（1-

3

5

）（1-

1

2

）=

3

25

，
P（X=1）=P（A

.

B

.

C

）+P（

.

A

B

.

C

）+P（

.

A

.

B

C）
=

2

5

(1-

3

5

)(1-

1

2

)+（1-

2

5

）×

3

5

×(1-

1

2

)+(1-

2

5

)(1-

3

5

)×

1

2

=

19

50

，
P（X=2）=P（AB

.

C

）+P（A

.

B

C）+P（

.

A

BC）=

2

5

×

3

5

×(1-

1

2

)+

2

5

(1-

3

5

)×

1

2

+（1-

2

5

）×

3

5

×

1

2

=

19

50

，
P（X=3）=P（ABC）=

2

5

×

3

5

×

1

2

=

3

25

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	3 25	19 50	19 50	3 25

EX=0×

3

25

+1×

19

25

+2×

19

25

+3×

3

25

=

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意可能事件概率計算公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．