Question

1．如圖，矩形OABC內(nèi)的陰影部分由直線f（x）=sinx及直線x=a（a∈（0，2π））與x軸圍成．向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在陰影部分的概率為$\frac{1}{2}$，求函數(shù)h（x）=x-f（x）在[0，a]上的值域．

Answer 1

分析 根據(jù)幾何概型的概率公式，以及利用積分求出陰影部分的面積即可得到a，再求出函數(shù)h（x）=x-f（x）在[0，a]上的值域．

解答 解：根據(jù)題意，陰影部分的面積為${∫}_{0}^{a}$sinxdx=-（cosx）${|}_{0}^{a}$=1-cosa，
矩形的面積為$a•\frac{4}{a}$=4，
則由幾何概型的概率公式可得$\frac{1-cosa}{4}$=$\frac{1}{2}$，
即cosa=-1，
又a∈（0，2π），
∴a=π，
h（x）=x-f（x）=x-sinx，h′（x）=1-cosx≥0
∴h（x）在[0，π]上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)h（x）=x-f（x）在[0，π]上的值域?yàn)閇0，π]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，根據(jù)積分的幾何意義求出陰影部分的面積是解決本題的關(guān)鍵．